0248 凸レンズでできる像　レンズの公式編

凸レンズでできる像において
物体－凸レンズ間の距離　ａ　(cm)
レンズ－スクリーン(像）間の距離　ｂ　(cm)
そして、焦点距離　ｆ　の間には
1/a + 1/b = 1/f

という関係があります。これをレンズの公式といいます。

これがまた便利な、というか面白い、と言ったらいいのか、奥が深いやつでして…凸レンズでできる像の実験の結果をまとめた後に扱うと、数学が得意な人ほど感動します。

この前の作図を例に考えてみましょう。焦点距離ｆは20目盛りなので、2cm(20mm)としましょう。

a>2f

この例では物体－凸レンズ間の距離　ａ　は6cmになります。

レンズの公式にａ＝６、ｆ＝２を代入すると、
１／ａ＋１／ｂ＝１／ｆ
１／６＋１／ｂ＝１／２
ここから　ｂ＝３　と求められます。
作図でもレンズから3cmのところに像ができています。

2f>a>f

ａ＝３のときはというと

１／３＋１／ｂ＝１／２ここから　ｂ＝６　となりますが、実はこれ、さっきのａ＝６の例から、ａとｂをひっくり返しただけの話です。
もちろん、作図でもレンズから６cmのところに像ができています。

a=2f

ａ＝ｂ　のとき、その長さは２ｆに等しくなりますね。

ａ＝２ｆ，ｂ＝２ｆとして１／ａ＋１／ｂを計算してみると…
　１／ａ＋１／ｂ
＝１／２ｆ＋１／２ｆ
＝（１＋１）／２ｆ
＝２／２ｆ
＝１／ｆ　おおっ！たしかに！

これら３つのケースをやっているうちに、数学の得意な生徒はこの公式のすごさにだんだんと気が付いてきます。
しかし、この公式の本当に恐ろしいのはここからです。

a<f

ａ＜ｆのとき、スクリーンには像はできず、虚像ができるのでした。レンズの公式は使えるのでしょうか。
一応、この前の作図でやった　ａ＝１　で、計算してみましょう。

１／１＋１／ｂ＝１／２
ｂ＝－２　となってしまいました。マイナスってなんだよおい…と思ったら！
作図でもレンズから右寄りに２cmのところに虚像ができています！
ｂがプラスのときはレンズから左にｂ cm のところに像ができていましたが、
ｂがマイナスのときはレンズから右に│ｂ│ cm のところに像ができているのです。
これに気づいた生徒は、この公式の深さに感動します。

a=f

ラスボス。ａ＝ｆのとき。
作図でもこの通り、像はできませんでした。
これをレンズの公式ではどう表現しているか？！
レンズの公式に　ａ＝ｆ　を代入してみます。
　１／ｆ　＋　１／ｂ　＝　１／ｆ
両辺から　１／ｆ　を引くと
１／ｂ　＝　０
この式を満たすｂはいくらでしょうか。
ためしに両辺にｂをかけてみましょう。
ｂ／ｂ　＝　０ｂ
　　１　＝　０ｂ
ゼロにｂをかけると１になる、そんなｂはいくつか。
んなもん、ゼロに何かけてもゼロだから…
ゼロだから…
だから…そんなｂは存在しない。
こうなると数学の得意な生徒はシビれます。涙流します。