前回紹介したレンズの公式
1/a + 1/b = 1/f
について、その破壊力はお伝えしましたが、どうしてこのような公式が成り立つのかというのには触れませんでした。
数学的に証明するには、相似比の考え方を使います。これはまだ、「身近な物理現象」を学習する中１ではやっていない内容なので授業では扱えないと思いますが、次のようにしてレンズの公式を導くことができます。
まずは、適当に作図して、ａ，ｂ，ｆの長さに該当するところがどこであるかかいてみます。
ここで、相似の直角三角形を薄い赤と青で塗ってみました。
それぞれの三角形の水平な線分の長さから相似比は
赤い三角形：青い三角形＝ａ：ｂとわかります。
したがって、赤い縦の線分：青い縦の線分＝ａ：ｂということになります。
そして、別の相似の直角三角形の組に注目します。
これまた薄い赤と青で塗ってみましたが、赤と青の縦線はさっきと同じです。
つまり、今度の三角形の組の相似比も
赤い三角形：青い三角形＝ａ：ｂ なのです。
したがって、
赤三角形の横の辺の長さ：青い三角形の横の辺の長さ＝ａ：ｂ …①
になります。
ところで、
赤三角形の横の辺の長さ＝ｆ …②
青い三角形の横の辺＝ｂ－ｆ …③
ですから、 ②③を①に代入すると
ｆ ： ｂ－ｆ ＝ ａ ： ｂ
外項の積＝内項の積ですから
ｂｆ＝ａ（ｂ－ｆ）
＝ａｂ－ａｆ
両辺 ＋ａｆ で
ａｆ＋ｂｆ＝ａｂ
（ａ＋ｂ）ｆ＝ａｂ
両辺 ／ａｂｆ します。 ａｂｆいずれも０ではありませんから割れますね。
（ａ＋ｂ）ｆ／ａｂｆ＝ａｂ／ａｂｆ
（ａ＋ｂ）／ａｂ＝１／ｆ
ａ／ａｂ＋ｂ／ａｂ＝１／ｆ
ｂ／ａｂ＋ａ／ａｂ＝１／ｆ
１／ａ＋１／ｂ＝１／ｆ
やっとレンズの式が出てきました。 ふぅ。
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